Asterisk nr. 105 - juni 2023
Selv om teknologiske hjælpemidler tilsyneladende overflødiggør matematiske færdigheder, er matematisk viden vigtigere end nogensinde. Hvis vi skal undgå, at teknologien tager magten, må undervisningen klæde eleverne på til at forholde sig kritisk og kende metoderne bag teknologien. Didaktisk forsvarlig matematikundervisning foregriber, at teknologien ’black boxer’ vigtige læringsprocesser.
Lyt til artiklen
Matematikken lever i paradoksernes tid. På den ene side kan matematiske færdigheder synes overflødige. Teknologien regner for os. Computere og AI har overtaget opgaver, og man kan sagtens leve et almindeligt liv uden at mestre brøker og ligninger. Men i virkeligheden er matematisk viden vigtigere end nogensinde. Det mener professor Morten Blomhøj, der er leder af Nationalt Center for Udvikling af Matematikundervisning (NCUM) ved Aarhus Universitet, hvor han og hans kollegaer arbejder på at udvikle matematikundervisningen på et forskningsmæssigt grundlag og i samspil med lærere. Han siger:
”I et højteknologiske samfund har vi særligt brug for matematiske kompetencer til at regne ud, hvordan vi adresserer de store udfordringer: epidemier, klima, krige osv. Vi har brug for mere end et lille hold af matematikkyndige. Vi må sikre en grundlæggende matematisk viden i befolkningen.”
Det, at vi i Danmark klarede os så godt gennem Covid 19, skyldtes i høj grad, at det lykkedes os at træffe matematisk velfunderede beslutninger, mener Morten Blomhøj. Han peger også på, at kommunikationen omkring de matematisk funderede beslutninger havde betydning for, at størstedelen af befolkningen bakkede op, fordi de rent faktisk forstod kernen i problemstillingen. På den helt store klinge handler matematik om at sikre en kritisk masse i samfundet, der kan deltage i og nuancere vigtige samfundsdebatter.
”Hvis man skal kunne deltage i debatten om finansloven, er man bedre stillet, hvis man forstår den matematiske model, der ligger til grund for den. ”
Morten Blomhøj
Debatten om at sløjfe store bededag er et godt eksempel. For viden om matematiske begreber og sammenhænge er en forudsætning for at kunne forholde sig til debatten om at finansiere velfærd ved at afskaffe store bededag. Her blev det tydeligt, at matematik ikke er neutral, argumenterer Morten Blomhøj:
”Store bededags-regnestykket er et eksempel på, at resultatet afhænger af de antagelser, man lægger til grund for regnemodellen. At argumentet om, at man kan spare penge ved at fjerne en helligdag, er værdipolitisk. Den form for matematisk indsigt er afgørende for at forstå, at matematik skaber og forandrer verden,” siger han.
Matematisk forståelse er faktisk helt grundlæggende for at begribe, hvordan vi indretter vores samfund.
”Hvis man skal kunne deltage i debatten om finansloven, er man bedre stillet, hvis man forstår den matematiske model, der ligger til grund for den, og man skal kunne forholde sig kritisk til den. Det samme gælder modellen for, hvordan vi fordeler mandaterne efter et folketingsvalg,” argumenterer Morten Blomhøj og tilføjer, at også på det private plan er matematiske kompetencer afgørende for, at man forstår og kan styre sin økonomi og forbedre sine muligheder i livet.
”Didaktisk forsvarlig matematikundervisning kræver, at man er opmærksom på, at teknologien ’black boxer’ nogle matematiske processer.”
Uffe Jankvist
Men kan vi ikke bare få teknologien til at regne det ud for os? Den kunstig intelligens (AI) med chatrobotten ChatGPT’s indtog er for alvor kommet på dagsordenen i undervisningen, men faktisk har kunstig intelligens længe været en integreret del af matematikundervisningen. Det er over ti år siden, at ’computer assisted learning’ for alvor sneg sig ind i de matematiske lærebøger.
Det påpeger professor i matematikkens didaktik ved Aarhus Universitet Uffe Jankvist, der også gør opmærksom på, at de nye teknologiske hjælpemidler er et tveægget sværd. For hvis vi ikke bruger dem klogt, men derimod udliciterer undervisningen til CAS (Computer Algebra Systems), er det stærkt problematisk rent læringsmæssigt:
”Didaktisk forsvarlig matematikundervisning kræver, at man er opmærksom på, at teknologien ’black boxer’ nogle matematiske processer. Det vil sige, at den fx skjuler de enkelte skridt i en matematisk problemløsning ved at reducere dem til et enkelt tryk på en knap,” siger Uffe Jankvist.
Man kan godt lade eleverne bruge computerteknologien til at lave udregninger. Men ikke hele tiden. For så bliver hjælpemidlet ikke en hjælp, men en bjørnetjeneste, der fratager eleverne grundlæggende matematiske færdigheder og kritisk stillingtagen til resultaterne og metoden, argumenterer han.
Da CAS blev skrevet ind i de danske gymnasiebøger i 00’erne, så man, at nogle af de danske lærebogsforfattere begyndte at opfinde såkaldte CAS-beviser, dvs. beviser, hvor dele af eller hele bevisførelsen var udliciteret til CAS. Og det bør man være varsom med, vurderer Uffe Jankvist. Han siger:
”Læringsmæssigt er det ikke smart at outsource til CAS. Det frarøver eleverne muligheden for at forstå matematikken til bunds og gå tingene efter i sømmene.”
”Man skal passe på, at den digitale teknologi ikke bliver en kompetenceerstatter. Den skal derimod være en kapacitetsforstærker.”
Uffe Jankvist
Uffe Jankvist skelner mellem pragmatisk og vidensorienteret, såkaldt epistemisk, brug af CAS. Pragmatisk kan man bruge CAS som værktøj, men hvis man vil undervise didaktisk forsvarligt i matematik i den teknologiske æra, må de teknologiske hjælpemidler ikke udelukke, at man arbejder vidensorienteret med matematikken, og at man tilegner sig matematisk viden, som man er i stand til at bruge uden teknologien.
”Det er de samme matematiske kompetencer, eleverne skal lære før og efter de nye teknologiske hjælpemidler. Hvis man ikke bruger dem fornuftigt, kan det gå galt. Man skal passe på, at den digitale teknologi ikke bliver en kompetenceerstatter. Den skal derimod være en kapacitetsforstærker, som professor Mogens Niss har formuleret det,” siger Uffe Thomas Jankvist.
I dag findes der fx en masse software, der kan løse ligninger. At arbejde vidensorienteret med matematikken er at arbejde med den, så man forstår den. Og det sikrer de teknologiske hjælpemidler ikke, understreger Uffe Jankvist.
”Man kan sagtens anvende CAS som hjælp til at løse matematiske opgaver. Men det bør være som supplement. For man lærer ikke matematik af blot at taste værdier ind i en computer, der løser opgaven. Hvis man skal tilegne sig de matematiske begreber, skal man arbejde sig gennem hele processer, så man forstår fx ligninger eller brøker som del af et større system. Det kræver, at man gennemgår og forstår en masse eksempler på sådanne matematiske processer.”
Pragmatisk eller vidensorienteret brug af teknologi i matematikundervisningen?
Uffe Jankvist skelner mellem pragmatisk og vidensorienteret, såkaldt epistemisk, brug af CAS. Pragmatisk kan man bruge CAS som værktøj, men hvis man vil undervise didaktisk forsvarligt i matematik i den teknologiske æra, må de teknologiske hjælpemidler ikke udelukke, at man kan arbejde vidensorienteret med matematikken, og at man tilegner sig matematisk viden, som man er i stand til at bruge uden teknologien.
Dengang computerteknologien blev en del af undervisningen, var netop det, at teknologien kunne hjælpe til at begrebsliggøre matematikken visuelt for eleverne, det store dyr i åbenbaringen, forklarer Uffe Jankvist:
”I 1980’erne og 1990’erne sad forskere og klappede i hænderne over de teknologiske muligheder. Man tænkte, at nu bliver det let at lære eleverne matematik, fordi de vil kunne se matematikken visualiseret på skærmen. Faget blev ramt af den evige teknologioptimisme. Men der er jo altid en bagside af medaljen. Den var og er man ikke tilstrækkeligt opmærksom på.”
For selvom læreplanerne lægger op til, at computerteknologi bruges vidensorienteret som værktøj i en undervisning, hvor eleverne også lærer om begreberne og processerne bag løsningerne, er det langt fra altid, det sker, konstaterer han:
”Mange steder bliver CAS brugt rent pragmatisk til at løse opgaverne – og så opstår der black boxing, fordi eleverne ikke forstår matematikken bag.”
Det at forstå matematik er også at være i stand til at skifte mellem repræsentationer af matematiske objekter. Når man kan det, er man godt på vej i begrebsdannelsen, mener han. Og når begreberne er på plads, er teknologierne virkningsfulde redskaber. Det er her, vi skal hen, for da kan eleverne lære at benytte teknologien, ikke blindt, men målrettet og med magt over, hvad de foretager sig, mener Uffe Jankvist.
”Problemet er, at mange af teknologierne er udviklet til uddannede matematikere, der ved, hvad de skal med teknologierne. Har man som dem lært matematikken bag, bliver teknologien en hjælp. Det er afgørende at huske som underviser.”
”Eleverne skal forstå, at matematik er et udgangspunkt for at forstå, hvordan vi er i verden. Det er derfor, vi har lagt op til, at man bør introducere matematik allerede i daginstitutionen.”
Morten Blomhøj
En anden udfordring er at gøre matematikken relevant for eleverne. Også i deres forståelse af faget er der et paradoks, forklarer Morten Blomhøj:
”Mange har fået den opfattelse, at matematik ikke rigtig kan bruges til noget, nu hvor vi har computere til rådighed. Men samtidig oplever eleverne i gymnasiet, at de bliver forhindret i at søge de uddannelser, de ønsker, hvis de klarer sig dårligt i matematik.”
Det er endnu et godt eksempel på, hvor vigtigt det er at forankre matematikundervisningen i virkeligheden, mener han:
”Vi skal starte i udgangspunktet. Eleverne skal forstå, at matematik er et udgangspunkt for at forstå, hvordan vi er i verden. Det er derfor, vi har lagt op til, at man bør introducere matematik allerede i daginstitutionen. Det skal understøtte, at matematik er et undersøgende, aktivt fag, hvor man kan stille spørgsmål.”
Også i skolen bør matematik i højere grad integreres med de øvrige fag. Forskningen viser, at eleverne i udskolingen oplever en mur mellem det, de lærer i klasselokalet, og virkeligheden. De har svært ved at forstå, hvad de konkret skal bruge matematikken til, forklarer Morten Blomhøj og peger på, at den forståelse og oplevelse af relevans kan matematisk modellering være med til at skabe:
”Modellering betyder, at man skaber sammenhæng mellem virkeligheden og matematikken, og dét gør eleverne motiverede for at lære. Det grundlæggende er at tænke i, hvordan vi skaber konkreter, som eleverne kan koble til virkelighedens udfordringer igennem forståelsen af den matematiske abstraktion,” siger han.
I NCUM har Morten Blomhøj og hans kollegaer fokus på at hjælpe lærere med at tænke de autentiske eksempler ind i undervisningen. Det kan være øvelser som, hvordan man kan beregne en skoles kapacitet eller andre spørgsmål, man ikke kan slå op nogen steder, men som kræver overvejelser og beslutninger ud fra forskellige antagelser.
Én antagelse kunne være, at hver klasse skal have et klasselokale. En anden, at hver klasse har et maksimalt antal elever. En tredje, at hver klasse skal have adgang til gymnastiklokalet i løbet af ugen, forklarer han.
”Det er jo sådanne matematiske modeller, lokalpolitikerne bruger i debatter om, hvordan man vil føre skolepolitik. Hvad er en god placering for en skole? Hvor mange kilometer må der højst være til skole? Sådanne opgaver og matematiske scenarier gør det tydeligt, at matematik er afgørende for vores måde at indrette samfundet på,” siger Morten Blomhøj.
Modellering betyder, at man skaber sammenhæng mellem virkeligheden og matematikken. Det handler for læreren om at skabe konkreter, som eleverne kan koble til virkelighedens udfordringer i forståelsen af den matematiske abstraktion.
På trods af den betydelige rolle matematikken spiller i forhold til at forstå verden, bliver matematikkens didaktik ikke tildelt tilstrækkelige ressourcer og opmærksomhed, vurderer begge professorer.
”I forhold til brugen af teknologi tror jeg, at det kan skyldes, at man er gået meget op i, at underviserne skulle lære at bruge CAS rent teknisk, mere end hvordan de skal bruge teknologien didaktisk. Den opgave er tit overladt til underviserne selv,” siger Uffe Jankvist.
Også Morten Blomhøj mener, at den teknologiske æra kalder på langt større fokus på matematikdidaktik.
Der er brug for, at lærere i fællesskab får mulighed for at udvikle deres matematikdidaktik. Og det skal ske løbende, fordi det at planlægge og udvikle matematikundervisning kræver tid og refleksion. Og så kræver det ledelsens opbakning:
”Prioriteringen af matematikdidaktik skal understøttes af ledelsen. Forskningen viser nemlig, at hvor der er ledelsesmæssig opbakning til at deltage i udviklingsprojekter, får det tilsvarende positiv effekt på praksis,” siger Morten Blomhøj.
Generelt set står den kritisk undersøgende tilgang til matematik stærkere i folkeskolen end på gymnasierne. Det er de to forskere enige om. Som Uffe Jankvist polemisk formulerer det:
”I Folkeskolen måler man på en masse trekanter for at finde frem til, at 180 grader er en god approksimation til vinkelsummen – i gymnasieskolen beviser man det i en sætning, og så taler man aldrig mere om det”.
Morten Blomhøj peger på, at gabet mellem folkeskolen og gymnasiets matematikundervisning kalder på, at der bygges bro mellem de to lærergrupper, så kulturforskellen udlignes. Det er afgørende for, at vi ikke taber eleverne i den læringsmæssige kløft, der er opstået i uddannelsesforløbet.
De nye teknologiske hjælpemidler gør det vigtigere end nogensinde at sikre, at eleverne ikke bliver fremmedgjorte over for matematikken. Dels fordi de ikke føler behov for at lære noget, som en computer kan ordne for dem. Dels fordi matematikkens maskinrum bliver en ’black box’, når computeren overtager de grundlæggende opgaver fra eleverne, og de således mister grundfærdigheder og forståelse af matematikkens kerne.
Hvis vi vil give eleverne magten over matematikken tilbage, må vi erkende, at teknologien er kommet for at blive – og bruge den både klogt, kritisk og forankret i virkelighedens udfordringer, mener Uffe Jankvist. Her er de grundlæggende matematiske kompetencer afgørende.
Modstand mod udvikling er naturlig og har altid fundet sted, mener han, og minder om den græske filosof Platon, der efter sigende syntes, at det var forkert, at folk begyndte at bruge skriveredskaber og papir til at lave matematik.
”Han mente, at man skulle tænke matematikken – uden sådanne moderne hjælpemidler. Selvfølgelig skal vi ikke blive så kritiske, at vi bliver bange for at bruge teknologien. Men vi skal bruge teknologien klogt og kritisk. Det kræver et undervisningsdidaktisk udgangspunkt, der sikrer, at eleverne forstår den grundlæggende matematik. Først da kan de forholde sig til teknologiens muligheder og begrænsninger. Computere kan regne hurtigt, men det er vigtigt at vide, hvad der ligger til grund for deres resultater,” siger Uffe Jankvist.
Uffe Thomas Jankvist m.fl.: Mathematical Competences in the Digital Era. Springer, 2022.
Nationalt Center for Udvikling af Matematikundervisning (NCUM): Matematikdidaktik.dk
Professor i matematikkens didaktik ved DPU, Aarhus Universitet og underviser på Kandidatuddannelsen i didaktik – matematik.
Professor i matematik og leder af Nationalt Center for Udvikling af Matematikundervisning (NCUM), der arbejder for en engagerende, ambitiøs og tidssvarende matematikundervisning. Han underviser på Kandidatuddannelsen i didaktik – matematik på DPU, Aarhus Universitet.
NR. 105
TEMA: Hvad er vigtigt at lære i fremtidens digitale samfund?
JUNI 2023
